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スパインのすべて|付録|The Tutelman Site

ソース

All About Spines - Appendix by Dave Tutleman

拙訳

付録 *1

参考資料A:トルク閾値の計算 *2

ここではふたつの計算を行なう: *3

  1. クラブフェースをスクエアにするために,ゴルファーがグリップにかけるトルクの量。 *4

  2. ミスアライメントされたのシャフトのしなりに起因するトルクの量。 *5

ここでの目標は,1のトルクの5%に2のトルクがなるような,スパインの大きさを見つけることだ。これをドライバーに対して行なう。なぜなら,スパイン効果に対してドライバーが最も感応度が高いクラブだと思われるからだ。 *6

一貫性を持たせるために,計算はMKS(メートル・キログラム・秒)の単位系で行なう。のちに,より馴染みのある(アメリカ人にとっては,少なくとも)インチとポンドに変換する。 *7

(1) クラブフェースをスクエアにするためにゴルファーがかけるトルク *8

これを計算するためには,シャフトにおけるクラブヘッドの慣性モーメントが必要になる。それを「I」と呼ぼう。最初に,クラブヘッドの中心における慣性モーメント「Io」を算出する。クラブヘッドを回転楕円体で近似して,幅が4.4インチ,奥行きも4.4インチ,高さを2.5インチだとする(高さは公式の中には入っていないので,この値は結果に関係しない)。重量は,ドライバーヘッドの多くがそうであるように,200グラムとする。 *9


Io = (2/3)mr^2

ここで,*10

  • m = mass = 200g = 0.2kg
  • r = radius = 2.2" = 0.056m

ゆえに*11


Io = 0.00042(kg*m^2)

サニティーチェック。USGAは最近,クラブヘッドの慣性モーメントの上限を0.00059kg*m2にすることを提案した。その上限を仮定すれば,最近の高慣性モーメントのトレンドを抑えて,ヘッドは数年前の0.0004から0.0005の範囲に戻ることが想像される。上記の計算はこの範囲に収まるので,サニティーチェックに合格した。 *12

シャフトはその中心から0.056m(2.2インチ)の場所にあるので, *13


I = Io + m*d^2 = 0.00042 + 0.2*0.056^2 = 0.001(kg*m^2)

実際これは0.00105なのだが,数字を丸めたままにしておこう。 *14

クラブフェースを閉じるために,どれぐらいのトルクが居るか? クラブフェースを90度閉じる,つまりπ/2ラジアン閉じるのを,インパクト前の100ミリ秒で行なう。その時間はゴルファーによって異なるが,100ミリ秒というのはリリースが遅い,いいスイングだ。Wishonが自身のシャフトフィッティング記事で繰り返し述べているように,リリースが早ければインパクト直前でシャフトのしなりはそれほどないので,スパインはそこでは遥かに問題にならなくなる。ゆえに,リリースの遅いスイングに注目しよう。 *15

物理学101に戻る(大学に入ったばかりの息子に教えているので,これはいまだに新鮮だ)。 *16


T = I*a

ここで,*17

  • T = トルク(単位はNm)*18
  • I = 先に計算した慣性モーメント*19
  • a = シャフトの角加速度(単位はラジアン/秒2*20

なので,角加速度のいい推定が必要になる。だいたいリリースに重なると仮定しよう。実際はそうではないが,推定としては上等だ。息子の物理の教科書によれば,等加速度では, *21


Angle = (1/2)*(Angular Acceleration)*(Time)^2

あるいは*22


π/2 = (1/2)*a*(0.1)^2

これを角加速度(a)について解くと,*23


a = 314 (radians/sec^2)

これをトルクの等式に戻せば,以下を得る。*24


T = I*a = 0.001 * 314 = 0.314(Nm)

メートル法がお好みでないならば,これは2.8インチポンド,あるいは1/4フィートポンド弱だ。 *25

(2) ミスアライメントされたシャフトのしなりに起因するトルク *26

閉形式の会を求めてトルクを計算するより,スパインのいくつかの値に対してトルクを計算する方が容易だ。なので,そうした(以下を見よ)。ゴルファーによって与えられたトルクの5%を生んだスパインは,3.6cpmだった。その3.6cpmの計算を示そう。 *27

いくつかの数字を後に用いる: *28

  • 230cpmのシャフトを用いる。その3.6cpmは,その1.6%だ。硬さは振動数の二乗に比例するので,硬さの割合でいったら3.2%ということになる。 *29

  • 逆のしなりボード(具体的にはNF-4)でシャフトを計測した。1インチのしなりは1.8kgの荷重を生むことを見つけた。シャフトのバネ係数Kがあとで必要になるが,それは1.8kg/inch,あるいは(適切な単位に換算すると)693N/mだ。 *30

  • ShaftLabのデータから,ほとんどのゴルファーで,インパクト直前のシャフトのしなりは1.5インチ未満。スパイン効果を最大化するため,1.5インチあるいは0.038メートルとしておこう。 *31

位置エネルギー(ポテンシャルエネルギー)を使って,しなったシャフトのトルクを計算しよう。しなったシャフトの位置エネルギーは,以下で与えられる。 *32


PE = (1/2)*K*x^2

ここで,*33

  • K = ばね係数。先にこれは693N/mであると計算した。しかしこれは,NBPとスパインとで3.2%の違いがある。スパインではKは715N/m,つまり3.2%高い。 *34

  • x = シャフトのしなり。これは0.038メートルであると決めた。 *35

1.5インチのしなりがスパインで起こったときとNBPで起こったときとでの位置エネルギーの違いを計算する。それから,シャフトを90度,NBPからスパインに回転させるときの,この量のエネルギーを生むのに必要なトルクを計算する。位置エネルギー(PE)の差は, *36


PE = {(1/2)(715)(0.038)^2} - {(1/2)(693)(0.038)^2} = 0.0158(Nm)

なので,π/2ラジアン回転するときに0.0158Nmの仕事(Work)をするトルクを見つける必要がある。そのトルクが一定だとすると,簡単だ。 *37


Work = T*a  or  0.0158 = (π/2)*T

これを解いて,T=0.01(Nm)となる。 *38

しかしトルクは,NBP(ゼロトルク)とスパイン(これもゼロトルク,間違いなく不安定均衡だが,均衡点ではある)とのあいだで変化する。そのあいだ,トルクは正弦波のように変化し,その最大値はNBPとスパインとの中間地点にある。なので,少しだけ解析をして,正弦波として解を出そう。 *39


Work = ∫ t(θ) dθ

ここで,*40

  • t(θ) = T*sin(2θ)

  • Tは,回転しているときのトルクの最大値。つまり,最悪にシャフトがアライメントされたときのトルク。 *41

  • この公式はsin(θ)の代わりにsin(2θ),なぜなら正弦波は180度にわたる一方,シャフトは90度だけ回転するから。 *42

これを0からπ/2まで積分すると,以下を得る。 *43


Work = ∫ T sin 2θ dθ = T/2 {cos(2θ)}|0→π/2 = (T/2)*(2) = T

しかし私たちは,Work=0.0158Nmであることを知っているので,Tについて解ける。実際それは自明で,なぜならWork=Tだから。なので,最悪のケースでのトルクは,0.0158Nmとなる。 *44

上の1に戻ると,ゴルファーによって加えられたトルクは0.314だった。簡単な計算をすれば, *45


0.0158 / 0.314 = 5%

証明終わり。*46

(3) しなりのトルクの閉形式,スパインの強いシャフト *47

後知恵になるが,閉形式はそれほど難しくない。数値の代わりに記号でやるが, *48


c / F = T / Kx^2

ここで *49

  • c = スパインの大きさ(単位はCPM) *50

  • F = シャフトのベースの振動数(NBPプレーンで,単位はCPM) *51

  • T = 最悪のアライメントでのトルク,最大トルク(単位はNm) *52

  • K = シャフトのしなりのバネ係数(単位はN/m)(そう,これは必然的にFに関連するが,そこには今は立ち入らない。そこにはティップウェイトとはりの長さが必要になるが,スパイン問題では不必要だ) *53

  • x = シャフトのしなり(単位はメートル) *54

全記事

*1:About Spines - Appendix

*2:Appendix A - Calculation of torque threshold

*3:Here we calculate two things:

*4:The amount of torque the golfer exerts on the grip in order to square the clubface.

*5:The amount of torque due to the bend of a misaligned shaft.

*6:The goal is to find the size of spine that causes #2 to be equal to 5% of #1. We will do this for a driver, because drivers seem to be the clubs most sensitive to spine effect.

*7:The physics is done in MKS (meter-kilogram-second) units, to keep them consistent. We will convert from the more familiar (to Americans, at least) inches and pounds.

*8:Torque exerted by golfer to square the clubface

*9:To find the torque, we will need the moment of inertia of the clubhead about the shaft, which we will call I. We will start by finding Io, the moment of inertia about the center of the clubhead. Let's approximate the clubhead as a thin-walled spheroid 4.4" wide, 4.4" front-to-back, and 2.5" high. (The height does not figure into the formula, so it doesn't matter what we choose for it.) The clubhead is 200g, as most driver heads are.

*10:where:

*11:So

*12:Sanity check: The USGA has recently proposed a limit on clubhead MOI of .00059 kilogram meters squared. Given the proposed limit, meant to curtail a recent trend to higher MOI, we should expect a head a few years old to be in the range of .0004 to .0005. That is where our estimate lies, so we pass the sanity check.

*13:The shaft is situated .056m (2.2") from the center, so

*14: (Actually, it's .00105, but let's keep the numbers round.)

*15:How much torque does it take to close the clubface? The clubface closes 90º, which is π/2 radians, in the last 100msec before impact. The time actually varies with the golfer; 100msec is a good swing with late release. As Wishon notes repeatedly in his shaft-fitting writings, there is not much shaft bend in the vicinity of impact when the release is early, so spine should be much less of a problem there. Therefore, let's focus on the late release swing.

*16:Back to physics 101. (I have been tutoring my son in freshman college physics, so this stuff is still fresh.)

*17:where:

*18:torque in newton meters

*19:the moment of inertia we computed above

*20:the angular acceleration of the shaft, in radians per second squared

*21:So we need a good estimate of the angular acceleration. Let's assume it's approximately the same over the release; it isn't, but the estimate is pretty good. According to my son's physics text, with a constant acceleration:

*22:or

*23:Solving for angular acceleration:

*24:We plug this back into the equation for torque to get

*25:If you prefer to think in non-metric terms, that's 2.8 inch pounds or just under a quarter of a foot-pound.

*26:Torque due to bend of misaligned shaft

*27:It is easier to compute the torque for a few values of spine than to come up with a closed-form expression and solve for the torque. So that is how I did it. (But see below) The spine that gave 5% of the torque applied by the golfer was 3.6cpm. Let's just show the calculation for 3.6cpm.

*28:A few numbers we will need later:

*29:We are using a 230cpm shaft. 3.6cpm is 1.6% of 230cpm. Since stiffness varies with the square of frequency, this is actually 3.2% when measured as a percentage of stiffness.

*30:I measured the shaft using an inverted deflection board (specifically an NF-4). I determined that a deflection of 1 inch creates a load of 1.8 kilograms. We will need the spring constant K of the shaft, which is 1.8 kilograms per inch, or (converting to the proper units) 693 newtons per meter.

*31:From ShaftLab data, the shaft bend in the vicinity of impact is less than 1.5" for almost all golfers. In order to maximize the spine effect, we'll use 1.5", or 0.038 meters.

*32:Let's use potential energy to figure out the torque on a bent shaft. The potential energy in a deflected shaft is given by:

*33:where:

*34:spring constant. We computed this above to be 693 newtons per meter. But it's 3.2% different for the NBP and the spine; the spine would have a K of 715 newtons per meter, 3.2% higher.

*35:shaft deflection. We decided this would be 0.038 meters.

*36:We will find the difference in potential energy between the shaft bent 1.5" at its spine and at its NBP. Then we will find the torque needed to create this amount of energy as the shaft turns 90º from NBP to spine. The PE difference is:

*37:So we need to find the torque that does .0158 newton meters of work when rotated through π/2 radians. If the torque were constant, it would be simple.

*38:which solves to T = 0.01 newton meter.

*39:But the torque varies as you move between an NBP (zero torque) and a spine (also zero torque -- an unstable equilibrium to be sure, but still an equilibrium). In between, the torque varies much like a sine wave, being at its maximum halfway between NBP and spine. So let's indulge in a little calculus, and solve it as a sine wave.

*40:where

*41:T is the maximum torque during the rotation. In other words, it's the torque when the shaft is aligned as badly as it can be.

*42:The formula is sin 2θ instead of sin θ because the sine wave goes through 180º while the shaft rotates through 90º.

*43:Integrating, we get:

*44:But we know that work = .0158 newton meter, so we can solve for T. In fact, the solution is trivially easy, since Work=T. So the torque in the worst possible alignment is 0.0158 newton meter.

*45:Looking back at #1 above, the torque applied by the golfer was 0.314. Doing the math:

*46:QED

*47:Closed form for torque of bent, spiny shaft

*48:With 20-20 hindsight, the closed-form expression isn't that difficult. I repeated the steps using symbolic instead of numerical representations, and it solved to:

*49:where:

*50:The spine magnitude in CPM

*51:The base frequency of the shaft (in the NBP plane) in CPM

*52:The torque at the worst alignment position, the maximum torque in newton meters

*53:The spring constant of the shaft in deflection, in newtons per meter. (Yes, this is necessarily related to F, but we don't want to get into that now. It would require introducing tip weights and beam length, an unnecessary complication for a spine problem.)

*54:The shaft deflection, in meters