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スパインのすべて|Vol.1 - スパインとは何か/何ではないか|The Tutelman Site

シャフトのスパインについて突っ込んで書いている記事を訳していきます。

ソース

All About Spines by Dave Tutelman

スパインとは何か/何ではないか *1

定義 *2

スパインとは何か,明確な定義から始めよう。そして,スパインではないものについても,気をつけて述べる。これが私の定義だ: *3

一般的に,ゴルフクラブシャフトにおけるスパインとは,硬さが(曲げる)方向によってバラつきがあること。さらに細かく言うと,スパインとはそのシャフトが最も硬い方向のことである。 *4

シャフトは完全に対称的に作られてはいないので,すべてのシャフトは,ある方向で曲げると硬く(曲げに対する抵抗力が強く),ある方向ではそれより硬くない。この硬さの違いは計測できないほどに小さいこともあるし,もし仮に検知できたとしても,実務上の違いを生むほど大きくないということもある。しかし,製造が完全ではない以上,違いは存在するものだ。 *5

これはそれほど過激な定義とは思えないだろう。しかし,そこから派生したものは,広く誤解されている。スパインの方向を決める一般的な方法のせいで,1990年代以降のシャフトスパインに関する議論には,多くの誤解がつきまとっている。例えば Bill Day は,シャフトで検知されたスパインに関する説明と用語を体系化したが,それはものすごい仕事だった。不幸にも,その文書内のほぼすべては,スパインを適切には計測しない機器を用いた経験から引き出された考えをもとにしている。なので結果として,Billの文書の大部分は無用の長物だ。すべてのシャフトは,上で述べた定義のように本当のスパインが計測されたならば,それはBillが言うところの「タイプ2」のシャフトだ。しかしその文書の大部分は,「タイプ1」と「タイプ3」のシャフトでのみ見いだされた特徴を扱っている。それらは,一般的ではあるが基本的に間違った計測技術が生む不自然な結果なのだ。[1] これについては後ほど詳細に述べるが,それはフィールファインダーで検知されたスパインとFLOで検知されたスパインとを比べるときに行なう。 *6

とはいうものの,スパインとは何ではないかを述べるのも大事だろう: *7

  • それは何か明白な物理的な特徴,つまりスチールシャフトの溶接シーム[継ぎ目]のようなものではない。実際,「スパイン」という名前はもともと,ほとんどのスチールシャフトは溶接されたチューブだから,継ぎ目が硬さの非対称性を生むのだろうという考えから来ている。しかし,溶接シームはスパインの唯一の原因ではないし,その主要な原因ですらない。いまのところは,何が原因かを気にしないことにしよう。最初に,シャフトにスパインがあるという事実が何を意味するかを気にかけよう。それがクラブフィッターにとっては重要なことであり,シャフトがどうしてそうなったかが重要なわけではない。しかしあとで,シャフトにスパインが生まれる原因についても簡単に見ていく。 *8

  • それは素のしなりではない。完全に対称的なシャフトを作るのが不可能なように,完全にまっすぐなシャフトをを作るのも不可能だ。他のよりまっすぐなシャフトは存在するが,それは他のより硬さにおいてより対称性があるシャフトがあるのと同様だ。静止時のシャフトの曲がり,つまり何も外力が働いていない状態でのシャフトの曲がりは,「素のしなり」と呼ばれる。これをどうして気にするのか? なぜなら,スパインについて広く信じられていることの大半は,素のしなりをスパインであると間違って解釈させる計測機器に依るものだからだ。これを後のセクションで見ていく。そして多くの時間をかけて,Dayのさまざまなシャフトタイプの述語体系は,実際にはスパイン以上に素のしなりをもとにした区別であることを説明していく。 *9

Bill Day が用語づくりでとてもいい仕事をしたので,彼の他の用語を借用しよう。(実際,私たちは借用以上に改良する。私たちの定義は彼の精神に根ざすものであり,それを計測したミスリーディングな機器に基づくものではない。) *10

ナチュラルベンディングポジション(NBP)とは,シャフトの硬さが最も小さい方向である。 *11

されこれで私たちは,シャフトの硬さの方向に対する「スパイン」と,シャフトの柔軟性の方向に対する「NBP」という言葉が残された。 *12

さて,そのスパインのサイズの定義を終わらせよう。スパインアライメントに関する議論で,大きくて深刻なスパインと,小さすぎてきっと意味をなさないスパインとがあることに触れているのは,驚くべきことにほとんどない。 *13

シャフトにおけるスパインのサイズとは,スパインの硬さとNBPの硬さとの差のことである。それは,計測器が振動数を用いているかしなりを用いているかによって,CPMで測ることもできるし,バネ効果の違いをパーセンテージで表わすこともできる。 *14

1cpmの振動数や,1%のバネ効果の違いなどは,小さいかあるいは無視できるほどのスパインだ。10cpmか8%となれば,それは比較的大きなスパインとなる。これら数字のあいだでどこがスパインの重要性に関する「閾値」になるか,それについてはまだ定量化できていない。しかし,スパインのサイズを語ることなくスパインのアライメントについて語るのは,意味をなさない。 *15

しなりの力学 *16

スパインとは硬さに関するもので,硬さとはしなりに関するものだ。もしそのシャフトが曲がらなければ,そのスパインは何事に対しても何の影響を与えない。*17

なので,シャフトが曲がっているときに起こっていることを理解する必要がある。機械工学のその分野は,曲げと収縮を扱う。ゴルフシャフトは「はり」であり,グリップ(手からグリップに力とトルクが伝わる)とティップ(クラブヘッドからの慣性力)への荷重に反応して収縮する。その結果は「曲げモーメント」となって,シャフトをある方向に曲げようとする。*18

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曲げモーメントがはりを曲げるとき,カーブ外側でははりの表面が少し伸ばされ,カーブ内側では表面が少し縮められる。シャフト材料は「弾性」(バネのように動くことを意味する技術用語)なので,カーブ外側の材料には張力がかかり(そのシャフトを引き伸ばしているかのように),カーブ内側には圧力がかかる。もう少し詳しく見てみよう……*19

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そのはりの材料にはほぼすべて,曲げによるストレス(内力)がかかる。はりの中のひとつの仮想面だけが,曲げる前と比較して長くも短くもならない。エンジニアはこれを「中立面」と呼ぶ。図の中で中立面の上にある材料のすべての繊維(つまり曲げの外側)は,静止時より長くなっており,それゆえ張力がかかっている。中立面の下は,材料は圧縮されている。*20

定量的には,中立面から離れるほど,引張荷重も圧縮荷重も大きくなる。青い三角形は,中立面からの距離と引張荷重の大きさとの関係を示している。赤は,圧縮荷重の大きさを。これが三角形になるのは,伸長あるいは圧縮の量が中立面からの距離に正比例するからだ。これはただの幾何学である。*21

これら三角形の大きさが,引張と圧縮のバランスを保つ。これらがバランスを保たなければ,シャフトは細い破片に砕けてしまう。引っ張りの力とモーメントは,横断面にわたって,圧縮の力とモーメントとに等しくなければならない。*22

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この記述は,完全なゴルフシャフトのように,はりの横断面が対称的であるときに,ちょうどうまくいく。しかしこの記事はスパインについてだ。それは,対称性が完全ではないときに起こる。何が起こるのか?*23

上図のような,極端な例をとってみよう。昔のApolloの広告キャンペーンが正しかったとして,溶接シャフトで非常に大きなスチールのビード[フチ]が,シャフトの内側にあるとしよう。このときシャフトは曲げに対してどう反応するだろうか?*24

多くの人の最初の直感としては,その追加された材料の部分を伸ばすかたちで曲げようとすると,シャフトはただ遥かに硬くなるだろうというものだ。一方で,その逆方向に曲げようとすれば,硬さはほんの少しだけ増すのではないかと思うのではないだろうか。その結果,深刻なスパインとなり,シャフトは両方向の曲げに対して遥かに硬くなる。*25

これはまさに,私が機械工学を学ぶ前に思っていたであろうことだ。そしてこれは,私がこれまで話したクラブメーカーのほとんどが,すかさず反応することである。*26

しかしこれは,実際に起こっていることではない。近くもない。*27

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実際に起こるのは,中立面が動くということだ。中立面が動いて,その両側のバランスがとれるようになるのだ。上図では,シャフトは下方に曲がっている。引張荷重の三角形は小さくなり,圧縮荷重の三角形は大きくなっている。しかし中立面の上にはより材料があるので,その上下でバランスをとるために,各繊維で多くの張力を必要としない。*28

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そして,非対称なシャフトを情報に曲げたらどうなるだろうか? 逆に曲げたときと中立面は同じ位置のままで,ただ赤い三角形と青い三角形とがその色を交換する。中立面上の小さな三角形は圧縮荷重で,下の大きな三角形は引張荷重だ。*29

これが意味するのはつまり,硬さは上に曲げようが下に曲げようがまったく同じだということだ。溶接ビードは,上方下方のプレーンでシャフト全体を硬くするが,上下で硬さが違ったりはしない。その通り,いまここでスパインを導入した。上下方向は左右方向より硬い。しかし上方への曲げが下方より硬いとか,その逆とかはない。*30

これで私たちは,スパインとNBPがシャフト内でどのように分布しているかについて,いくつかのルールにたどりつく。これらルールはは,長いあいだ世に出回っている工学の教科書からきている。このルールは,この先出会うであろう最悪のスパインを持つゴルフシャフトでちょうど上手く働く。実際,あらゆるゴルフシャフトより遥かに非対称なはりで上手く機能するのだ。*31

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各方向でのシャフトの硬さは,楕円で表現できる。(いや,シャフトの横断面は楕円である必要はない。あらゆる形をとれる。硬さの曲線が楕円なのだ。)さてこれで,ルールにたどりつく。そのルールは,スパインが計測できるほどに十分に非対称なシャフトであれば適用できる。*32

  1. スパイン(最大の硬さをもつ方向)はふたつあり,それらは180度の角をなす。*33

  2. NBP(最少の硬さをもつ方向)はふたつあり,それらは180度の角をなす。*34

  3. NBPはスパインと90度の角をなす。*35

これは驚くべき結果だ。そして,Bill Day の用語の記事から導かれる計測とは非常に異なっている。これが言っているのは,すべてのシャフトは「タイプ2」のシャフトだということだ。もし計測器が違うことを言ってたら,その計測器は間違っている(なぜ間違っているかをあとで見る)。*36

シャフトはスイング中にどのようにしなるか *37

再度述べるが,スパインが何らかの意味をなすのは,シャフトが曲がっているときであることを思い起こそう。シャフトが真っ直ぐのときは,スパインは何に対しても影響を及ぼさない。私たちは先に,シャフトがしなっているときに内部で何が起こっているかを確認した。さてここで,スイング中のシャフトのしなりの挙動を確認しよう。*38

最初に,シャフトは複数のプレーン上で曲がる。その理由の一部として,スイングプレーン(それは理想的には「ターゲットプレーン」の傾斜したバージョンだが)は,クラブの基準面と同じではないことが挙げられる。クラブにはヒール=トウのプレーンがあり,それは「フェース=バック」のプレーンに直交する。実際,クラブのプレーンとスイングのプレーンとは,ダウンスイング中にその関係性を完全に変える。*39

いくつかの絵(ジャック・ニクラウスの著書『Golf My Way』から拝借)で,私が何を意味しているかお見せしよう……*40

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ダウンスイングのスタート時,クラブのヒール=トウ・プレーン(緑色の線)はスイングプレーン(水色の線)と平行している。

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インパクト時,クラブフェースはスクエアになり,フェース=バックの方向がスイングプレーンと平行になる。

これらの複雑さをすべて考慮した上で,シャフトのしなりについてどうやったら十分活用できるほどに特徴づけることができようか? ShaftLab と呼ばれる機器で,ダウンスイング中のクラブに関連したプレーンにおけるシャフトの実際のしなりを計測できる。実際,下図は,グレッグ・ノーマンのドライバースイングにおける,シャフトのしなりの方向と大きさとをトレースしたものだ(1990年後半のもの)。曲線上の各データポイントにある青色の数字は,クラブヘッドがインパクトするまでの時間(単位:ミリ秒)を表わしている。*41

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もちろん,スイングは人によって異なる。しかし,シャフトのしなりについて,以下のように一般化するのも価値があるだろう:*42

  • 最大のしなりは,ちょうど手首がアンコックを始めたときに起こる。このしなりの大部分が起こるのは,ヒール=トウ・プレーンがスイングプレーンにまだ平行な状態のときである。なので,最大のしなりが起こるのは,ヒール=トウ・プレーンから遠くない。*43

  • インパクトの直近で,しなりは遥かに小さくなる。つまり,あらゆるスパインの効果は,ダウンスイングの序盤でより大きくなる。ただし,インパクト直前をより重要視すべき何ら華の物理的理由がない限りは。*44

  • インパクト近くで,しなりの大部分はスイングプレーンから外れている。これはその大部分が「トウダウン」に起因する。インパクト近くのしなりは,トウダウン(アウト・オブ・プレーン)と,初期のイン・プレーンのしなりからくる「しなりもどし」との組み合わせである。イン・プレーンのしなりからくる全体のしなりの角度はゴルファーによるが,ツアープロのスイングではドライバーで平均25度から55度,アイアンでそれプラス5度というところだ。*45

これでは曖昧すぎるし,ゴルファーごとに変動が大きすぎるので,スパインがゴルフスイングにどのように影響を与えるか,あるいはその逆にゴルフスイングがスパインにどのような影響を与えるかについて,詳細な分析をすることがまだできない。しかし,シャフトの挙動にに関する様々な理論のもっともらしさについて,最低限の評価をするには十分だ。それは後ほど行おう。*46

脚注 *47

  • [1]: 2008年2月,Bill は Spinetalker のフォーラムにこのような投稿をした。「いまのところ,Daveの記事はミスリーディングだと思うし,間違いがいくつかある。Dave,このフォーラムでもプライベートなメールでもいいけど,修正が必要な間違いについて話し合えるよ。だけどとりあえずは,修正がされない限りは,記事を君のウェブサイトから削除した方がいいと思う」。Billと私はその後5日間,10回以上メールのやり取りをしたが,合意に至るには程遠かった。その不合意の大部分は,ふたつの根本的に異なる信念に起因している:*48

    • すべてのシャフトは,スパインがいかに小さかろうとも,スパインにそったアライメントをする必要があると,Billは信じている。私はそうではない。*49
    • ほとんどすべてのシャフトが「タイプ2」(Billの用語による)のように挙動しないことは素のしなりで説明できると,私は信じている。Billはそうではない。*50
  • これら論争はいずれも,本記事でのちのち明確になっていく。Billの観点を支える基本原理に賛同しないので,私はそれを「間違い」とは呼べないし,サイトから削除もしない。*51

  • [2]: 「ナチュラルプレーン」とNBPとを混同しないでいただきたい。NBPは「natural bending position」の略である。NBPが「ニュートラルポジション」とか「ニュートラルベンディングプレーン」とさえ呼ばれるのを目にしたことがある。どう呼ばれようとも,中立面(neutral plane)とは無関係だ。中立面とNBPは完全に無関係の概念である。中立面とはシャフト内部にあって,引張荷重と圧縮荷重とが打ち消し合う仮想面である。NBPとは,シャフトを曲げたときに硬さがもっとも小さい方向を指す。*52

  • そして,この混乱についてどうか私を責めないでいただきたい。NBPは比較的新しい用語であり,だいたい2000年ぐらいに出てきた。中立面は,私が大学に行った1958年より遥か前から工学の教科書に出てきている。*53

  • [3]: 私はこれが数学的に証明されているのを,S. Timoshenko による工学の古典教科書『Strength of Materials - Part 1』で見た。Appendix V に証明が載っているので参照されたい。最近の本をお望みなら,R. C. Hibbeler の『Engineering Mechanics: Statics and Dynamics』がある。*54

全記事

*1:What spine is -- and isn't

*2:Definitions

*3:Let's start by an explicit definition of what spine is -- and a careful statement of some things it is not. Here is my definition:

*4:Generically, spine in golf club shafts is the directional variation of stiffness. More specifically, the spine is the direction of greatest stiffness of the shaft.

*5:Since shafts cannot be built perfectly symmetrically, every shaft will be stiffer (more resistant to bending) in some directions than in others. This difference may be too small to be measured, or -- even if detected -- too small to make a practical difference. But, given imperfect fabrication, the difference will exist.

*6:That does not sound like a very radical definition. But the ramifications that follow from it were widely misinterpreted. Because of the way the spine's direction was typically determined, the discussion of shaft spines since the 1990s has been loaded with misconceptions. For instance, Bill Day has done a terrific job in codifying the description and terminology of measured spine in a shaft. Unfortunately, almost everything in the document is based on notions drawn from experience with instruments that do not properly measure the spine. So it turns out that most of Bill's document is unnecessary. All shafts, if they are measured for true spine as I defined it above, are what Bill calls "Type 2" shafts. But most of the document deals with characterization of things only found in Type 1 and Type 3 shafts -- which are artifacts of a common but generally incorrect measurement technique.[1] This will be explained in more detail later, where we compare the spine found by feel finders with those found by FLO.

*7:Having said that, it is important to note what spine is not:

*8:It is not some obvious physical characteristic, like welded seam of steel shaft. Actually, the name "spine" originally came from the belief that, since most steel shafts were welded tubes, the seam created an asymmetry in stiffness. But the welding seam isn't the only cause of spine, nor even the major cause. We won't worry yet about what causes it. First, let's concern ourselves with the implications of the fact that shafts have spine. That is the important thing for clubfitters, not how the shaft got that way. But later we'll briefly look at the cause of spines in shafts.

*9:It is not residual bend. Just as it is impossible to manufacture a perfectly symmetrical shaft, it is impossible to manufacture a perfectly straight shaft. Some shafts are straighter than others, just as some shafts are more symmetrical in stiffness than others. The bend of the shaft at rest -- with no flex forces on it -- is called the "residual bend". Why do we worry about this? Because much of what is widely believed about spine is due to measuring instruments that misinterpret residual bend as spine. We'll see this in a later section. And we will spend a lot of time discussing how Day's various shaft type nomenclature is really a distinction based on residual bend more than spine.

*10:Since Bill Day did such a good job of creating terminology, let's adopt another of his terms. (Actually, we're adapting rather than adopting. Our definition is in the spirit of his, but not based on the misleading instrument that measured it.)

*11:Natural Bending Position (NBP) is the direction of least stiffness of the shaft.

*12:So we are left with the term "spine" for the stiff direction and "NBP" for the flexible direction of a shaft.

*13:Let's finish with a definition of the size of the spine. Remarkably little of the discussion of spine alignment addresses the fact that there are big, serious spines and then there are spines that are probably too small to matter.

*14:The size of the spine in a shaft is a measure of the difference between the stiffness at the spine and the stiffness at the NBP. It can be measured in CPM or in percentage difference of spring constant, depending on whether your measuring instruments use frequency or deflection.

*15:1cpm of frequency or 1% of spring constant is a small or even negligible spine. 10cpm or 8% is a rather large spine. The work has not been done to quantify where, between these numbers, is the "threshold" of spine importance, but it makes no sense to talk about aligning spine without also talking about the size of the spine.

*16:The mechanics of bend

*17:Spine is about stiffness. And stiffness is about bend. If the shaft isn't bending, then the spine is having no effect on anything.

*18:So we need to understand what happens in a shaft when it bends. The field of Engineering Mechanics deals with bending and flex. The golf shaft is a beam, flexing in response to forces imposed on it at the grip (forces and torques transmitted from the hands to the grip) and the tip (inertial forces from the clubhead). The result is a "bending moment" that will try to curve the shaft in one direction or another.

*19:When a bending moment causes a beam to bend, the edge of the beam at the outside of the curve is stretched a little longer, and the inside edge is squeezed a little shorter. Since shaft materials are "elastic" (technical terminology that means they act as a spring), the material at the outside edge is in tension (just as if you were pulling on the shaft) and the inside edge is in compression. Looking in a little more detail...

*20:Almost all the material in the beam gets some stress (internal force) from the bend. There can only be one plane through the beam that isn't either longer or shorter than it was before the bend. Engineers call that the "neutral plane"[2]. Every fiber of material above the neutral plane in the diagram (that is, toward the outside of the bend) is longer than it was at rest, and is therefore in tension. Below the neutral plane, the material is in compression.

*21:Quantitatively, the further from the neutral plane we get, the greater the tension and compression. The blue triangle represents the amount of tension at various distances from the neutral plane, and the red triangle the amount of compression. The shape is a triangle because the amount of elongation or shortening is directly proportional to the distance from the neutral plane; that's just geometry.

*22:The sizes of the triangles keep the tension and compression in balance. They have to stay in balance if the shaft is not to come apart into a lot of little pieces. The forces and moments of tension, through the cross section, have to equal those of compression.

*23:This description works just fine if the beam has a symmetrical cross-section, like a perfect golf shaft. But this article is about spine, which is what happens if the symmetry is not perfect. What happens then?

*24:Let's take an extreme example, shown in the diagram. Suppose the old Apollo advertising campaign had been correct, and a welded shaft had a big extra "bead" of steel down seam on the inside of the shaft. How would a shaft like that react to bend?

*25:Most people's first intuition says that the shaft just became a lot stiffer if you try to bend it downward, away from the added stiffening material. On the other hand it would only be very slightly stiffer than it was before if you bend it upward. The result is a serious spine, with the shaft much stiffer to bend downward than upward.

*26:That is certainly what I would have thought before I took an Engineering Mechanics course, and it is the immediate reaction of most clubmakers I have talked to.

*27:But that is not what actually happens. Not even close.

*28:What happens is the neutral plane moves. It repositions itself so that the material is better balanced on either side of it. In the picture, the shaft is bending downward. The tension triangle is smaller and the compressive triangle larger. But, since there is more material above the neutral plane than below, we don't need as much tension in each grain of the shaft in order to give a total force balance above and below.

*29:And suppose we bent the asymmetrical shaft upwards? The neutral plane stays in the same place as it did with the downward bend, but the red and blue triangles exchange colors. The small triangle on top is compression and the larger triangle on the bottom is tension.

*30:What this means is the stiffness is exactly the same whether we bend it upwards or downwards. The welding bead will make the shaft stiffer overall in the up/down plane than it was before, but it is just as stiff upwards as it is downwards. True, we have introduced a spine. We have made up/down stiffer than right/left. But we have not made down stiffer than up or vice versa.

*31:This brings us to a few rules for how the spine and NBP distribute themselves in a shaft. These rules come from engineering textbooks [3] that have been around a long time. The rules work just fine on the worst-spine golf shaft you will ever find; in fact, they work on much more asymmetrical beams than any golf shaft.

*32:The stiffness of the shaft in any direction can be represented as an ellipse. (No, the shaft cross section does not have to be an ellipse. It can be anything at all. The stiffness curve is an ellipse.) This leads us to the rules, which apply as long as the shaft has enough asymmetry that you can measure spine at all:

*33:The spines (directions of maximum stiffness) are two in number and 180º apart from each other.

*34:The NBPs (directions of minimum stiffness) are two in number and 180º apart from each other.

*35:The NBPs are 90º away from the spines.

*36:This is a remarkable result -- and very different from the measurements that led to Bill Day's terminology article. This says that every shaft is a Type 2 shaft. If your measurement tools tell you differently, then your measurement tools are wrong. (We'll see later why they are wrong.)

*37:How golf shafts bend during a swing

*38:Once again, let's remind ourselves that spine only means something if the shaft is bending. When the shaft is straight, the spine has no effect on anything. We just looked at what happens inside the shaft when it bends. Now let's look at the bend behavior of the shaft during a swing.

*39:First off, the shaft bends in different planes. Part of the reason for that is that the swing plane (which is ideally a slanted version of the "target plane") is not the same as the reference planes of the club. The club has a heel-toe plane which is perpendicular to the "face-back" plane. In fact, the club planes and the swing plane change their relationship completely during the downswing.

*40:A few pictures (from Jack Nicklaus' book "Golf My Way") to show what I mean...

*41:With all this complication, how can we possibly characterize enough about shaft bend to be useful? An instrument called ShaftLab can be used to measure the actual shaft bend in the club-referenced planes during the downswing. For instance, here is a "polar" trace showing the direction and magnitude of the shaft bend during Greg Norman's driver swing (circa the late 1990s). The blue numbers at each data point on the curve refer to the number of milliseconds before impact of clubhead and ball.

*42:It turns out, of course, that everyone's swing is different. But here are some worthwhile generalities about shaft bend during the swing:

*43:The largest bend occurs while the wrists are just beginning to uncock. Most of this bending occurs while the heel-to plane is still fairly well aligned with the swing plane, so this maximum bend is not far from the direction of the heel-toe plane.

*44:In the vicinity of impact, the bend is a lot less less. That means that any spine effects are likely to be greater earlier in the downswing, unless there is some physical reason to assign more importance to proximity to impact.

*45:Near impact, much of the bend is out of swing plane. Much of the reason for this is "toe droop". Bend near impact is a combination of toe droop (out-of-plane) and in-plane "rebound" from the early in-plane bend. The angle of the total bend from in-plane depends on the golfer. Tour pro swings exhibit angles of 25º-55º for a driver, and about 5º more for an iron.

*46:This is still too vague, and too variable from golfer to golfer, to support a detailed analysis of how spine affects the golf swing and vice versa. But it is enough to at least evaluate the plausibility of the various theories of shaft behavior. And we will do that later.

*47:Notes

*48:In February 2008, Bill posted on the Spinetalker's forum, "For the moment, I find Dave's article misleading, and it contains several errors. Dave, I can use this forum or private e-mail to discuss the errors that need correction, but at the moment I would suggest that you remove the article from your web site until corrections have been made." Bill and I exchanged more than a dozen emails over the following five days, and found ourselves no closer to agreement. Most of our disagreements stem from two very fundamentally different beliefs:

*49:Bill believes that every shaft needs to be spine-aligned, no matter how small the spine. I do not.

*50:I believe that just about every shaft that does not behave as "Type 2" (in Bill's nomenclature) can be explained by residual bend. Bill does not.

*51:Both these controversies will become more clear later in this article. Since I do not agree with the fundamentals underlying Bill's views, I cannot call them "errors" and will not withdraw the article.

*52:Please don't confuse "neutral plane" with NBP, which stands for "natural bending position". I have seen NBP called "neutral position" or even "neutral bending plane". Regardless of what you call it, it has absolutely nothing to do with the neutral plane. Neutral plane and NBP are competely unrelated concepts. Neutral plane is the plane inside the shaft where the tension and compression cancel to zero. NBP is the direction of least stiffness when you bend the shaft.

*53:And please don't blame me for the confusion. NBP is relatively new terminology, around since about 2000. Neutral plane has been in engineering texts since well before I went to college in 1958.

*54:I have seen this proved mathematically in S. Timoshenko's classic 1930 engineering text, "Strength of Materials - Part 1" Van Nostrand, 1930. See Appendix V for the proof. If you want something more recent, try R. C. Hibbeler, "Engineering Mechanics: Statics and Dynamics", Macmillan, 1983. See Sec. 10.7 - Principal Moments of Inertia.